Rnq - Rette numeriche quadratiche

Rnq-  Rette numeriche quadratiche dei numeri composti

I formulari di elementi e divisori delle stanze quadratiche A e B

 

Ad ulteriore dimostrazione della corretta interpretazione dei divisori Mm quali pertinenti punti di riferimento degli Intervalli [n(n-1)+1, n^2] e [(n^2+1), n(n+1)], (che, di fatto, essendo agglomerati  omogenei di elementi disciplinati da divisori Mm, funzionali a un comune disegno matematico,  è più pertinente considerare “Insiemi” distinti in Stanze quadratiche A e B), si evidenzia una loro ulteriore proprietà di gruppo dalle straordinarie potenzialità. Di norma, con le attuali conoscenze matematiche generali, se non si conosce il divisore è impossibile fattorizzare un numero senza ricorrere al crivello di Eratostene. Ma, più il numero da scomporre è grande… più tempo occorre per trovare i suoi divisori. Non attimi, minuti o ore. Anche con l’ausilio dell’informatica, talvolta occorrono settimane, mesi, anni. Le stanze quadratiche, Insiemi di numeri naturali consecutivi, e i loro pertinenti divisori Mm, dei quali finora vi ho mostrato la facciata A, cioè la legge matematica che regola la distribuzione dei numeri primi, hanno in serbo anche una brillante facciata B la quale automaticamente risolve il problema della fattorizzazione con poche  operazioni aritmetiche.

Analizzando le postazioni dei divisori Mm degli elementi posti all’interno delle stanze quadratiche si nota che tali sotto ordini dei numeri naturali contengono al loro interno un ulteriore sotto ordine costituito dalla posizione costante degli elementi corrispondenti a numeri composti che hanno i divisori Mm più alti.

Un sottordine che consente di determinare all’interno delle stanze quadratiche, tramite un apposito formulario, la postazione di un numero di elementi uguale alla radice quadrata del valore di n a colpo, e, con un ulteriore procedimento che utilizza lo stesso formulario, di individuare tutti gli altri numeri composti facenti parte delle stanze quadratiche, nonché, per esclusione, di individuare negli elementi rimanenti tutti i numeri primi facenti parte delle stanze quadratiche. Il che equivale a dire che è possibile fattorizzare tutti i numeri naturali pur non conoscendo a priori alcuno dei suoi divisori ed evitando il processo di scomposizione degli stessi in numeri primi.  La qual cosa, accelerando la possibilità di scomposizione dei numeri naturali rispetto gli attuali metodi conosciuti, in futuro costringerà a trovare un metodo alternativo all’attuale RSA utilizzato per le transazioni bancarie tramite internet.   

All’interno delle stanze quadratiche  il formulario consente di determinare la postazione di una quantità di elementi uguale alla radice quadrata del valore di n (con n avente, a sua volta, valore uguale alla radice del quadrato perfetto di riferimento) cosa che consente di certificare immediatamente che tali elementi sono dei numeri composti, cioè numeri non primi, il che, fra l’altro, in caso di stanze quadratiche di grandi dimensioni dei quali si vuole testare l’ipotetica primalità, relativamente alle postazioni di elementi formulabili consente di escluderne a priori l’ipotesi. Infatti, man mano che si amplia la presenza degli elementi nelle stanze quadratiche, si amplia anche il numero degli elementi dei quali si può individuare a priori il divisore Mm tramite formula.

Il formulario allegato, valido per gli elementi appartenenti alle stanze quadratiche A, è da ritenere uno scrigno che custodisce una serie di preziose informazioni matematiche che vanno in direzione della soluzione dell’enigma. 

Rnq. Rette numeriche quadratiche

Metodo di divisibilità dei numeri naturali, ambito stanze quadratiche

 

Dentro tutti gli Insiemi A e B si forma una retta numerica, composta da tanti punti quanti sono gli elementi numerici che ne fanno parte, laddove alcuni divisori Mm, sempre formulabili allo stesso modo per tutte le rette degli Insiemi A e sempre formulabili in altro unico modo per tutte le rette degli Insiemi B, si collocano in postazioni fisse, associati ai loro naturali elementi dividendi,  cosicché di quegli elementi loro associati è automaticamente possibile trarne, a colpo, i rispettivi divisori Mm e di conseguenza procedere alla loro veloce fattorizzazione, mentre degli elementi non associabili subito ai loro divisori naturali Mm all’interno delle stanze quadratiche, è possibile effettuarne l’associazione in tempi meno rapidi ma certo più veloci rispetto a quelli occorrenti al metodo del crivello di Eratostene con uno di tre metodi, fra loro alternativi, tutti rispondenti al medesimo risultato.

Assegnando valore 0 (Zero) al punto della retta numerica dove si trova l’ultimo elemento di ciascun Insieme A corrispondente al quadrato perfetto, e procedendo, da destra verso sinistra, verso gli altri elementi dell’Insieme, si ottiene una corrispondenza biunivoca fra alcuni elementi dell’Insieme e i loro pertinenti divisori Mm. Infatti, ogni qualvolta, sottraendo al valore del quadrato perfetto n^2 il valore di un altro elemento appartenente allo stesso Insieme, si ottiene una differenza corrispondente a un ulteriore quadrato perfetto m, allora il valore del divisore Mm dell’elemento sottraendo è uguale alla differenza tra il valore di n (radice del quadrato perfetto) e la radice del quadrato perfetto m.

In altre parole, tutti gli elementi della Stanza quadratica A precedenti il quadrato perfetto che da esso hanno una distanza uguale a un numero quadrato (1, 4, 9, 16, 25, ecc.) portano un divisore Mm il cui valore corrisponde alla differenza fra il valore di n (radice del quadrato perfetto n) e la radice del quadrato m (vedere tabella 10). 

Ricordando che le stanze quadratiche A sono tutte composte da una quantità di elementi consecutivi uguale alla radice del quadrato perfetto di un qualsiasi n^2 e che il quadrato  perfetto si colloca sempre come ultimo elemento di tali intervalli, facciamo un esempio pratico partendo da una delle prime stanze quadratiche A, cioè quella di n=5, il cui quadrato perfetto di riferimento è 25, mentre gli elementi che la compongono, essendo quantitativamente uguali al valore di n ed essendo 25 il loro ultimo elemento, sono costituiti dai cinque numeri consecutivi 21, 22, 23, 24, 25.

L’assunto ci dice che 25 costituisce il quadrato perfetto di N, con n avente valore 5. Andando a ritroso, da 25 verso 21, scendendo di un solo elemento troviamo la prima differenza tra 25 e 24 il cui valore corrisponde a un quadrato perfetto, cioè 1^2 che costituisce il primo quadrato M.

A questo punto, estraendo la radice quadrata di 1, che è uguale a 1, sottraiamo il risultato ottenuto al valore di N e otteniamo la differenza 5-1=4 ricavando così il secondo divisore della squadra di elementi che stanno nella stanza quadratica. Pertanto divisore Mm di 24 è  4. Successivamente, sapendo che  il secondo quadrato perfetto dopo 1 è il 4, sottraiamo il valore di questo secondo quadrato M = 4 a 25 e troviamo la differenza 21. Essendo la radice di 4 = 2, sottraiamo tale valore al valore di N e otteniamo 5-2=3 che costituisce il divisore Mm di 21. A questo punto dei 5 elementi 21, 22, 23, 24, 25, che costituiscono la stanza quadratica, conosciamo i divisori di tre elementi: 21, 24, 25 (rispettivamente 3, 4, 5).

Ce ne mancano ancora due. Quadrato successivo del 4 è 9. Sottraendo 9 a 25 otteniamo 16 il quale  è un elemento posto all’esterno della stanza quadratica che stiamo indagando. Nonostante si trovi all’esterno procediamo a sottrarre al valore di N=5 la radice di 9, che ovviamente equivale a 3, e otteniamo 5-3=2. Poi, partendo da 16, facciamo tanti passettini sempre uguali al valore del divisore 2, verso la stanza quadratica: quindi 16, 18, 20, fino a raggiungere il 22 che è  proprio quello da noi cercato essendo 2 il divisore Mm di 22. A questo punto tutti i divisori Mm maggiori di 1 sono stati tutti individuati: 22=2, 21=3, 24=4, 25=5. Quindi, per esclusione, il 23 è un numero primo. Per evidenti ragioni matematiche, il calcolo dei divisori effettuato tramite elementi fuori stanza deve necessariamente essere fatto gradualmente, dal divisore maggiore a quello minore. Per quanto riguarda il calcolo delle corrispondenze biunivoche fra elementi dividendi e divisori situati fuori stanza, ricordo che ho individuato altri due diversi metodi dei quali uno sicuramente molto più veloce, tuttavia, al momento, al fine di puntualizzare il primo metodo in quanto  “associa” elementi e divisori della retta numerica, si adotta il primo.  

Di seguito si riporta una piccola tabella esplicativa degli elementi appartenenti alle stanze quadratiche A dei primi undici valori di n laddove al primo rigo  sono indicate le posizioni occupate dagli elementi aventi divisori Mm aventi fra loro dividendi e divisori una corrispondenza biunivoca,

nel senso che agli elementi ivi posizionati corrispondono sempre determinati divisori. Tale tabella è utile per seguire meglio l’esempio già riportato di n=5 e quello successivo di n=11.

Altro esempio: Stanza quadratica A di N =11, composta da 11 elementi.

Essendo il numero degli elementi che compongono le stanze quadratiche quantitativamente uguali al valore di n ed essendo, in questo caso, il quadrato perfetto di 11 = 121, gli  elementi della stanza risultano essere i numeri 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121.

Andando a ritroso da 121 verso 111 scendendo di un solo elemento troviamo la prima differenza tra 121 e 120 il cui valore corrisponde a un quadrato perfetto, cioè 1^2 che costituisce un quadrato M. A questo punto, estraendo la radice quadrata di 1, sottraiamo il risultato ottenuto al valore di N e otteniamo la differenza 11-1=10 ricavando così il secondo divisore della squadra di elementi che stanno nella stanza quadratica. Pertanto divisore Mm di 120 è  11-1=10.

Successivamente, sapendo che  il secondo quadrato perfetto dopo 1 è il 4, sottraiamo il valore di questo secondo quadrato M = 4 a 121 e troviamo la differenza 121-4=117. Essendo la radice di 4 = 2, sottraiamo tale valore al valore di N e otteniamo 11-2=9 che pertanto è divisore Mm dell’elemento 117. Successivamente, sapendo che  il  quadrato perfetto successivo al 4 è il 9, sottraiamo il valore di questo terzo quadrato M = 9 a 121 e troviamo la differenza 112. Essendo la radice di 9 = 3, sottraiamo 3 al valore di N e otteniamo 11-3=8 il quale, pertanto, è divisore Mm dell’elemento 112. A questo punto, degli 11 elementi che costituiscono la stanza quadratica, conosciamo i divisori di quattro di loro: 112, 117, 120, 121. Ce ne mancano ancora sette.

Quadrato successivo a 9 è 16. Sottraendo 16 a 121 otteniamo 105 il quale  è un elemento posto all’esterno della stanza quadratica che stiamo indagando. Nonostante sia esterno, procediamo a sottrarre al valore di N=11 (che, ricordiamo, costituisce la radice di 121) la radice di  16 che ovviamente equivale a 4 e otteniamo 11-4=7. A questo punto partendo da 105, e sommando 7, si arriva all’elemento 112 che effettivamente fa parte della stanza quadratica di n=11. Tuttavia, poiché già sappiamo che 112 ha trovato un suo divisore che corrisponde a 8, provando a fare un altro passo in avanti uguale al valore del divisore, vediamo che esso si incrocia con l’elemento 112+7=119, il quale non ha altri divisori ed è effettivamente multiplo di 7 (119:7=17).

Continuando l’iter procedurale, troviamo il quinto quadrato perfetto M, distante 25 unità da 121, quindi 121-25=96, avente divisore 6; facendo il percorso inverso, da 96+6+6+6, si giunge all’elemento della stanza quadratica avente il divisore Mm=6 che corrisponde a 114. Sesto quadrato perfetto M è 36. 121-36=85; divisore Mm=5, elemento corrisponde della stanza quadratica 85+5+5+5+5=115. Settimo quadrato perfetto M=49. Quindi 121-49=72. Radice di 49=7. Quindi 11-49=4, pertanto 72 ha divisore 4. Da tale posizione, adottando la stessa procedura finora utilizzata per gli altri, esso giunge all’elemento 112, il quale ha divisore Mm = 8 che è multiplo di 4, e quindi, sapendo che il multiplo del divisore cercato occupa sempre un elemento diverso, si procede il percorso facendo un ulteriore passo giungendo all’elemento 116 che, infatti, a conferma della correttezza dell’assunto, è divisibile per 4 ma non per 8. Pertanto l’elemento 112 ha divisore Mm= 8 e 116 ha divisore Mm=4.

Successivo quadrato perfetto M al 49 è 64. Quindi 121-64=57. Radice di 64=8; 11-8=3. Facendo il percorso a ritroso a passo 3, da 57 verso la stanza quadratica, si raggiunge l’elemento 111 che effettivamente è divisibile per 3 (111:3=37). Il fatto che il quoto ottenuto (37) sia un numero primo è garanzia della correttezza del percorso e del corretto abbinamento elemento-divisore Mm. Infine  si trova  l’ultimo divisore superiore a 1, cioè 2.

Successivo quadrato perfetto M a 64 è 81. Quindi, adottando fedelmente la procedura, 121-81=40, elemento divisibile per 2. A passo 2 si raggiunge l’insieme i cui estremi sono: 111, 121. Si scarta l’elemento 112 perché divisibile per 8 che è multiplo di 2, si scarta l’elemento 114, perché divisibile per 6, pure multiplo di 2; si scarta l’elemento 116 perché divisibile per 4, anch’esso multiplo del 2, e si giunge all’elemento 118 il quale ci da conferma che nell’ambito dell’Insieme è il solo numero pari da potere considerare effettivamente divisore Mm di 2 in quanto dividendo 118:2 otteniamo un numero primo il che, ovviamente, è garanzia di correttezza della procedura utilizzata (118:2=59). A questo punto tutti i divisori maggiori di 1 sono stati trovati e l’unico elemento rimasto,  bypassato dai saltelli di tutti i divisori, è l’elemento 113  il quale è numero primo, divisibile solo per 1, oltre che per se stesso. La descrizione particolareggiata della casistica, è resa necessaria dalla diversa casistica che potrebbe indurre in errore, comportando una identificazione sbagliata dei divisori Mm.

Una volta acquisita padronanza con la logica adottata dai divisori Mm, la procedura diventa meccanica. D’altronde, l’iter procedurale, essendo semplice e ripetitivo, può essere molto facilmente tradotto in software da qualsiasi programmatore informatico.

La ripartizione schematica di alcuni degli elementi aventi divisori Mm più alti all’interno delle stanze quadratiche  procede uniformemente per tutte le stanze quadratiche, qualsiasi sia il valore di n. Evidentemente più è grande  il valore di n, maggiore è la quantità degli elementi aventi corrispondenza biunivoca coi divisori Mm anche se, man mano che aumenta la distanza dal punto 0 va proporzionalmente diminuendo la quantità di elementi che si associano coi rispettivi divisori allungandosi sempre più la distanza fra il punto 0 del quadrato perfetto N e i punti dei quadrati perfetti M.

Altro esempio con elementi della Stanza quadratica A di N=17 ( intervallo i cui elementi estremi sono 273, 289). Al primo rigo vengono indicate le distanze degli elementi dal punto 0 che corrispondono ai quadrati M; al secondo rigo i numeri elementi della stanza quadratica; al terzo rigo i divisori Mm degli elementi corrispondenti al rigo superiore ricavati dalla sottrazione del valore della radice quadrata dei quadrati perfetti M al valore della radice del quadrato perfetto 289 = 17. 

 

Esempio con elementi della Stanza quadratica A di N=18 (elementi 307, 324). Al primo rigo vengono indicate le distanze degli elementi dal punto 0 che corrispondono ai quadrati M; al secondo rigo i numeri dell’Insieme; al terzo rigo i divisori Mm degli elementi corrispondenti al rigo superiore ricavati dalla sottrazione del valore della radice dei quadrati perfetti M al valore della radice del quadrato perfetto N = 18.   

Ma il rapporto biunivoco fra elementi dividendi ed elementi divisori non si ferma al solo metodo evidenziato esistendone altri due differenti, tutti fra loro alternativi, che conducono agli stessi risultati. Addirittura, per quanto riguarda gli elementi interni alle singole stanze quadratiche, non rintracciabili immediatamente tramite formule,  è possibile trovare ciascun altro divisore Mm tramite poche e semplici operazioni aritmetiche, senza mai ricorrere al metodo del crivello di Eratostene.  

Da quanto precedentemente esposto si evince che il sistema di ricerca dei divisori funzionale agli Insiemi denominati  Stanze quadratiche consente sistematicamente l’abbinamento dei divisori  Mm (acronimo di Maggiore dei minori) di valore più alto coi pertinenti elementi  loro multipli. Si evince anche che tramite  il metodo suppletivo esposto, raggiungendo gli elementi esterni posti a distanza quadratica M da qualsiasi quadrato perfetto N e successivamente ritornando, a passo cadenzato dal valore del divisore, dentro la stanza quadratica, si incrociano sempre gli ulteriori elementi  aventi i divisori ricercati maggiori di 1 e, per esclusione, ciò consente anche di identificare negli elementi  non raggiunti dai passi cadenzati dei divisori maggiori di 1, i numeri primi. Tuttavia il sistema della ricerca esterna  può anche essere utilizzata quale fonte di identificazione di numeri composti  posti a distanze quadratiche M da un qualsiasi quadrato perfetto N  individuato come punto 0 (Zero) stante che tutte le distanze quadratiche M, qualsiasi sia il quadrato perfetto N di partenza, vengono sempre intercettate correttamente,  eccetto l’ultima corrispondente a n^2-(n-1)^2  non affidabile perché si riferisce alla ricerca del divisore 1 che sfugge a qualsiasi cadenza programmata.

È del tutto evidente che i punti derivanti dalle distanze fra quadrati perfetti M ed N all’interno delle stanze quadratiche costituiscono una sorta di intelaiatura dell’edificio matematico che ospita i numeri naturali. Infatti, oltre alle singole rette numeriche interne alle stanze quadratiche, per ogni quadrato perfetto N se ne può attivare un’altra più estesa che abbraccia anche le stanze quadratiche precedenti, ottenendo una lunga retta densa di punti identificati.

 

 

Immaginando i numeri naturali interi e positivi posti nella loro naturale successione lungo una retta numerica che, procedendo da destra verso sinistra, è composta dai soli punti aventi distanze quadratiche M dal quadrato perfetto N (considerato punto 0, cioè punto di partenza) si forma una ideale retta numerica composta da N punti, aventi tutti distanze quadratiche M diverse dal comune punto 0, fissato nel punto coincidente col quadrato perfetto N, ciascuno dei quali è composto da un elemento numerico avente divisore uguale a N - √M.

 

Infatti, assegnando valore 0 (Zero) al punto della retta numerica dove si trova l’ultimo elemento di ciascun Insieme A corrispondente al quadrato perfetto, e procedendo, da destra verso sinistra, verso gli altri elementi dell’Insieme composto dai soli elementi precedenti aventi distanze quadratiche M dal punto 0, si ottiene una corrispondenza biunivoca fra tutti gli elementi dell’Insieme e i loro pertinenti divisori Mm poiché, ogni qualvolta, sottraendo al valore del quadrato perfetto n^2 il valore di un altro elemento appartenente allo stesso Insieme si ottiene una differenza corrispondente a un ulteriore quadrato perfetto M, allora il valore del divisore Mm dell’elemento sottraendo è uguale alla differenza tra il valore di n (radice del quadrato perfetto) e la radice del quadrato perfetto m.

 In altre parole, tutti gli elementi precedenti il quadrato perfetto che da esso hanno una distanza uguale a un numero quadrato (1, 4, 9, 16, 25, ecc.) portano un divisore Mm il cui valore corrisponde alla differenza fra il valore di n (radice del quadrato perfetto) e la radice del quadrato m e tanto si verifica sia per gli elementi aventi tali caratteristiche facenti parte della stessa stanza quadratica A a cui appartiene il quadrato perfetto N utilizzato come punto di partenza, sia anche per gli altri elementi precedenti esterni alla stanza quadratica aventi caratteristiche uguali, cioè distanza quadratica M dal punto 0.

Ecco un primo esempio con N=11 il cui quadrato perfetto corrisponde a 121 che diventa il punto 0. (vedere tabella Rnq di N 11)

 

Dalla tabella si evince che ciascuna differenza fra la radice del quadrato N con ciascuna radice dei quadrati M corrisponde al divisore degli elementi ad eccezione del divisore 1 (che di fatto dovrebbe coincidere con elemento numero primo, ma la corrispondenza  biunivoca fra elementi coincidenti coi quadrati M e i divisori funziona sempre solo con tutti divisori di numeri composti mentre solo casualmente il divisore 1 coincide con un effettivo numero primo).

La corrispondenza biunivoca fra elementi e divisori Mm si mantiene fedele nell’ambito della stanza quadratica di partenza N=11 e in alcune successive, mentre per quanto riguarda le associazioni con gli elementi esterni lontani dalla stanza quadratica di partenza tendono a perdere la specificità di Mm divenendo dei generici divisori così come nel caso specifico capita con gli elementi 72  il cui effettivo divisore Mm è 8 invece che 4 e con l’elemento 40 il cui divisore Mm è 4 e non 2, fermo restando il fatto che, in entrambi i casi, entrambi i numeri sono effettivi divisori degli elementi.

Anche se la maggioranza dei quadrati M si associa con elementi esterni alla stanza quadratica che fornisce il punto 0, al fine di trovare l’associazione di tutti gli elementi facenti parte delle stanze quadratiche coi loro pertinenti divisori ho individuato tre diversi metodi che pervengono agli stessi risultati, cosicché è sempre possibile per ciascuna stanza quadratica trovare tutti gli abbinamenti fra elementi e divisori Mm eccetto che per i numeri primi ai quali comunque infine si perviene lo stesso “per esclusione” cioè poiché sono sempre gli unici elementi che restano esclusi dalle associazioni. Di questo comunque ne parlerò in seguito preferendo, al momento, seguitare col discorso iniziale.     

Poiché tali associazioni fra elementi quadratici M e pertinenti divisori sono sempre fedeli con qualsiasi valore di N, attivando le associazioni fra elementi e divisori partendo da valori di N maggiori, poiché le associazioni avvengono con elementi e divisori diversi si riescono a coprire anche le associazioni che in un primo tempo sfuggono. Ad esempio, costruendo una analoga retta partendo dal punto 0 corrispondente al quadrato perfetto 144, vediamo quali sono gli abbinamenti fra dividendi e divisori. (vedere tabella Rnq di N 12)

 

Si nota che la ripartizione delle associazioni automatiche fra dividendi e divisori, fra l’altro, assegna  valore di divisore Mm=7 all’elemento 119 della stanza quadratica A di N=11 che in precedenza non era compreso fra quelli noti. Costruendo una analoga retta partendo dal punto 0 corrispondente al numero 196, quadrato perfetto di N=14, fra gli altri abbinamenti evidenzio l’elemento 115 col divisore Mm=5, e tale associazione completa il quadro automatico degli abbinamenti fra tutti i numeri dispari composti appartenenti alla stanza quadratica di N=11 coi loro pertinenti divisori, ad eccezione del numero 113 in quanto numero primo, primalità alla quale si perviene per  logica deduzione.

A ulteriore corredo di quanto esposto allego la tabella Rnq di N 26 con punto 0 → 676 nonché la tabella Rnq di N 102 con punto 0 →10404.

La sequenza matematica delle distanze quadratiche M che si attivano a partire dal punto 0 (Zero) assegna una serie di formidabili associazioni fra elementi e divisori che consente di escludere a priori  la probabilità che in tale sequenza possa riscontrarsi la presenza di numeri primi stante che tutti i divisori >1 costituiscono garanzia matematica che trattasi di numeri composti.

Rette numeriche quadratiche "intra moenia"

 

Dentro tutti gli Insiemi A e B si forma una retta numerica, composta da tanti punti quanti sono gli elementi numerici che ne fanno parte, laddove alcuni divisori Mm, sempre formulabili allo stesso modo per tutte le rette degli Insiemi A e sempre formulabili in altro unico modo per tutte le rette degli Insiemi B, si collocano in postazioni fisse, associati ai loro naturali elementi dividendi,  cosicché di quegli elementi loro associati è automaticamente possibile trarne, a colpo, i rispettivi divisori Mm e di conseguenza procedere alla loro fattorizzazione, mentre degli elementi non associabili subito ai loro divisori naturali Mm all’interno delle stanze quadratiche, è possibile effettuarne l’associazione in tempi meno rapidi ma certo più veloci rispetto a quelli occorrenti al metodo del crivello di Eratostene con uno di tre metodi, fra loro alternativi, tutti rispondenti al medesimo risultato.

Assegnando valore 0 (Zero) al punto della retta numerica dove si trova l’ultimo elemento di ciascun Insieme A corrispondente al quadrato perfetto, e procedendo, da destra verso sinistra, verso gli altri elementi dell’Insieme, si ottiene una corrispondenza biunivoca fra alcuni elementi dell’Insieme e i loro pertinenti divisori Mm. Se, sottraendo al valore del quadrato perfetto n^2 il valore di un altro elemento appartenente allo stesso Insieme, si ottiene una differenza corrispondente a un ulteriore quadrato perfetto m, allora il valore del divisore Mm dell’elemento sottraendo è uguale alla differenza tra il valore di n (radice del quadrato perfetto) e la radice del quadrato perfetto m.

In altre parole, tutti gli elementi della Stanza quadratica A precedenti il quadrato perfetto che da esso hanno una distanza uguale a un numero quadrato (1, 4, 9, 16, 25, ecc.) portano un divisore Mm il cui valore corrisponde alla differenza fra il valore di n (radice del quadrato perfetto n) e la radice del quadrato m.

Primo esempio: sottraendo al quadrato perfetto 225, la cui radice è 15,  il valore del quadrato perfetto 4 si ottiene la differenza 221. Posto che la radice di 4 è 2, sottraendo 2 al valore di N della stanza quadratica (vedere prima colonna) si ottiene 15-2=13 che è il divisore Mm di 221. Secondo esempio: sottraendo al quadrato perfetto 289, la cui radice è 17, il valore del quadrato perfetto 16, si ottiene la differenza 273, primo elemento facente parte della stanza quadratica. Poiché la radice di 16 è 4, sottraendo tale numero al valore di N si ottiene 17-4=13, divisore Mm di 273. 

Come si può facilmente osservare in tabella, man mano che le stanze quadratiche diventano più grandi, cioè composte da più elementi, va proporzionatamente aumentando la quantità degli elementi in corrispondenza biunivoca coi rispettivi divisori Mm. Poiché gli elementi che si trovano in corrispondenza biunivoca coi divisori Mm, essendo regolati da uguali distanze quadratiche dai rispettivi quadrati perfetti di N, occupano postazioni fisse delle stanze quadratiche (-1, -4, -9, -16, …) dai rispettivi valori di N, si può convenire sul fatto che insieme essi costituiscano una sorta di struttura geometrica portante delle stanze quadratiche il cui dna è composto proprio dai divisori Mm. La tabella allegata è tratta dal libro “Stanze quadratiche e divisori Mm, l’ignota disciplina dei numeri naturali che regola la distribuzione dei numeri primi”.

La seconda tabella pone in elenco i soli elementi “intra moenia” posti a distanze quadratiche dal punto 0 del quadrato perfetto 66049, la cui radice N è 257, aventi corrispondenza biunivoca coi divisori Mm. Pertanto si tratta di un elenco ristretto di soli 17 elementi e pertinenti divisori Mm a scalare da 257 a 241.  

 

Rnq - Rette numeriche quadratiche

Alla luce della rigida impalcatura esistente in tutte le stanze quadratiche, costituita dalle postazioni fisse occupate da alcuni elementi numerici aventi divisori Mm standard, cioè a distanze quadratiche M dal quadrato perfetto N, convenzionalmente chiamato punto 0, emerge lampante il fatto che la frammentazione dei numeri naturali in Insiemi, non a caso denominati Stanze quadratiche, che orbitano attorno ai quadrati perfetti e che si specchiano nelle coppie di intervalli limitati e chiusi [(n(n-1)+1, n^2] e [n^2+1, n(n+1)], non sia una balzana teoria che innalza un castello in aria essendo invece costruita su rigidi schemi matematici che si ripetono sempre in uguale modo in tutte le stanze quadratiche, consentendo sempre ai divisori Mm di valore maggiore di posizionarsi in schemi precostituiti, a scalare, sia sulle singole Stanze quadratiche che sulle infinite Rette numeriche quadratiche ottenibili discendendo da qualsiasi quadrato perfetto N, gradualmente, dal valore maggiore fino al valore minore che coincide col divisore Mm1, il quale ultimo ovviamente ha sempre una corrispondenza biunivoca con elemento dispari che, a differenza di tutti i precedenti divisori Mm della catena che si associano sempre con elementi composti alternativamente dispari e pari, eccezionalmente coincide senza regola alcuna (o forse con regola nascosta da trovare) indifferentemente  con numero primo oppure numero composto. Pertanto , ad esempio, se il valore della stanza quadratica iniziale è 1000 allora la retta numerica quadratica sarà formata con certezza da 999 numeri composti consecutivi aventi rispettivamente divisori a scalare da 1000 a 2 mentre l’ultimo elemento con divisore 1  sarà forse anch’esso un numero composto oppure un numero primo.

In allegato la tabella della retta numerica quadratica di N 102,  punto 0 →10404: i primi dieci elementi essendo differenze comprese fra 1 e 100 dal punto 0 10404, sono parte  interna della stanza quadratica di partenza (“intra moenia”), mentre tutti gli altri sono elementi esterni, comunque allineati

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Commenti più recenti

24.01 | 15:01

Ho cercato di leggere le poesie in Mistrettese, io non ho dimenticato il dialetto, però a malincuore alcune proprio non riesco a decifrarle.
Bravi tutti

...
09.01 | 16:06

Mi dispiace. Non so.

...
09.01 | 16:04

Personalmente non so. Speriamo che possa rispondere qualcuno che porta questo cognome.

...
21.12 | 15:18

Il mio cognome e Travagliato. Lei sa quando questo cognome e visto per la prima volta a Mistretta?

...
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