Curiosità numeriche legati ai numeri primi

SPESSO IL PRODOTTO DI QUATTRO NUMERI NATURALI CONSECUTIVI + 1 CORRISPONDE AL QUADRATO DI UN NUMERO PRIMO  

Ho notato che, sempre, aggiungendo una unità al prodotto di quattro numeri naturali consecutivi, si ottiene il quadrato di un numero dispari non di rado numero primo, a sua volta sempre uguale a n²+n-1 laddove n è uguale al secondo dei quattro numeri naturali consecutivi considerati.

Esempio 1:

Aggiungendo una unità al prodotto dei primi quattro numeri naturali

1 x 2 x 3 x 4 = 24 +1 = 25

si ottiene un quoziente pari al quadrato del numero dispari  5 (infatti  5 x 5 = 25).

A sua volta, il numero 5 è uguale a 2²+1 cioè (posto che 2 = n) a

n²+n-1 = 2²+(2-1) = 5

Esempio 2:

aggiungendo una unità al prodotto dei numeri consecutivi  2, 3, 4, 5 si ottiene

2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 121 = 11²  ;

A sua volta,  11  è uguale al quadrato di 3 + 3-1, cioè

3²  + (3-1) = n²+n-1,

laddove n, al solito, è il secondo dei quattro numeri naturali consecutivi.

Esempio 3:

3 x 4 x 5 x 6 = 360 + 1 = 361 = 19² ;

e, a sua volta, 

19 = 4²+ (4-1) 

laddove 4 corrisponde, al solito, al secondo dei quattro numeri naturali consecutivi considerati.

Esempio 4:

4 x 5 x 6 x 7 = 840

840 + 1 = 841 = 29²

29 = 5² + (5-1)

laddove 5 corrisponde, al solito, al secondo dei quattro numeri naturali consecutivi considerati.

Dal che ovviamente si ricava che

attribuendo ai quattro numeri naturali consecutivi, nell’ordine, i seguenti valori

Primo = n – 1;

secondo = n;

terzo = n+1;

quarto = n+2;

Per ogni valore di n maggiore di 1 si ha:

(n-1) n (n+1)(n+2) + 1  = [n² +(n-1)]².

Procedendo gradualmente alla iterazione dei quozienti dei vari valori di N si ottiene una progressione di numeri  naturali positivi quadrati la cui radice frequentemente corrisponde a un numero primo.

5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, 305, 341, 379, 419, 461, 505, 551, 599, 649, 701, 755, 811, 869, 929, 991…