I NUMERI PERFETTI

I NUMERI PERFETTI sono delle rarissime entità numeriche aventi la caratteristica di essere uguali alla somma dei loro divisori (escluso il numero stesso). Il più piccolo numero perfetto è il 6 (i cui divisori 1, 2 e 3 sommati fra loro danno il numero di partenza). Il secondo numero perfetto è il 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 (la cui somma è, appunto, uguale a 28). Il terzo numero è il 496 e il quarto è 8128. Per giungere al quinto numero bisogna però arrivare a 33.550.336. I successivi numeri conosciuti richiedono sempre molte più cifre e per scriverne uno solo di quelli più alti occorrono volumi di oltre mille pagine. Al momento i numeri perfetti conosciuti sono solo una cinquantina. Essi hanno stretta relazione coi numeri primi in quanto risultano essere il prodotto di una coppia di numeri di cui uno è potenza del 2 e l'altro è un particolare numero detto primo di Mersenne. 

Anche questo argomento, così come quello dei numeri primi, ha appassionato diversi grandi matematici della storia e tutt'ora presenta dei quesiti a cui i matematici non hanno trovato risposta definitiva. Si pensa, ad esempio, che anche i numeri perfetti siano da considerare infiniti, ma tutt'ora non è stato elaborato un teorema che lo dimostri, cosicchè l'idea resta, al momento, solo una sensata supposizione. Fino al 2001 era oscuro anche il motivo per cui la somma delle cifre che compongono i numeri perfetti, ad eccezione del primo (il numero 6) conducano sempre a 1 (ad esempio 8128 = 8+1+2+8= 19; 19 = 1+9 = 10; 10 = 1+0 = 1). E fintanto che se ne sconosceva il motivo nessun matematico era in grado di potere confermare il fatto che anche gli altri numeri perfetti ancora da scoprire conservassero tale caratteristica. A seguito di un mio studio elaborato nell'anno 2001 (Primi di Mersenne e numeri perfetti) scoprii con un ragionamento semplice, ma rigorosamente matematico, il motivo di tale fenomeno ed elaborai un teorema (visionabile nel paragrafo successivo) che, per qualche tempo, fu ospitato in un sito di matematica.    La rete internet consentì ad un gruppo di studenti di matematica dell'Università di Torino, che stavano effettuando delle ricerche per le loro tesine, di scoprire quel mio teorema e così, sulla rete, successivamente scoprii che una tesi sui numeri perfetti presentata nell'anno 2004/05  presso il Dipartimento di Matematica della Università di Torino, riportava mio teorema. Il fatto lo scoprii per caso, una sera, quando "navigando" sulla rete casualmente mi imbattei in quella tesi.  Ebbi così conferma che l'umanità, se libera dai pregiudizi di casta, può talvolta accidentalmente confermare che la logica matematica non è esclusiva riserva di caccia delle "elite universitarie." La parte che riguarda il mio teorema si trova nel capitolo Proprietà dei numeri perfetti, alle pagine 9-11.  

CIASCUN NUMERO PERFETTO, AD ECCEZIONE DEL 6,

HA   RADICE NUMERICA SEMPRE UGUALE A 1

(teorema di Filippo Giordano)

Euclide, nel 300 avanti Cristo osservò che con n = numero primo, ogni qualvolta 2ⁿ-1 corrisponde a sua volta ad un ulteriore numero primo, allora 2^n-1(2ⁿ-1) è un numero perfetto.

Aumentando gradualmente il valore di n della formula euclidea, da 1 all’infinito, si ottengono infiniti cicli esa-numerici, ciascuno dei quali contiene al suo interno, numeri che rispettivamente confluiscono nelle seguenti radici:  1, 6, 1, 3, 1, 9.

                  2^n-1  (2 ⁿ –1)              prodotto                   Radice numerica

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                   2^1-1  (2¹ –1)                   1                                   1          

                   2^2-1  (2² –1)                   6                                   6

                   2^3-1  (2³ –1)                  28                                  1

                   2^4-1  (2⁴ –1)                 120                                 3

                   2^5-1  (2⁵ –1)                 496                                 1

                   2^6-1  (2⁶ –1)                2016                                9

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                   2^7-1  (2⁷ –1)                8128                                1

                   2^8-1  (2⁸ –1)               32640                               6

                   2^9-1  (2⁹ –1)              130816                              1

                   2^10-1 (2¹⁰–1)              523776                              3

                   2^11-1 (2¹¹–1)             2096128                             1

                   2^12-1 (2¹²–1)             8386560                             9

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E così via, all’infinito.

Nell’ambito dei primi 2 cicli esa-numerici della formula euclidea sopra riportati si incontrano i primi 4 numeri perfetti, determinati da n avente valore uguale ai numeri primi 2, 3, 5 e 7.

Si può notare che tutti i numeri corrispondenti a valore di n dispari hanno radice numerica 1, mentre tutti quelli corrispondenti a valore di n pari hanno, alternativamente, radice numerica del 3 e dei suoi multipli (6-3-9).

Il 6 (unico fra i numeri perfetti ad avere radice numerica diversa da 1) infatti, è il prodotto dei due fattori aventi l'unico esponente n primo pari, cioè il 2:

2^2-1(2²-1) = 2x3 = 6.

Poiché condizione necessaria e indispensabile affinchè 2ⁿ-1 sia un numero primo è quella, preliminare, che n corrisponda ad un numero primo e poiché tutti i numeri primi, ad eccezione del 2, sono dispari, allora tutti i numeri perfetti poiché determinati dalla formula euclidea avente n uguale = numero dispari conservano sempre (ad eccezione di n = 2) la radice numerica 1.

Durante una escursione nel mondo dei numeri primi, reduce da qualche puntata verso le molteplici progressioni numeriche, ho sperimentato una formula matematica in grado di percorrere un infinito sentiero, che ospita molteplici numeri primi, posto sulla cresta di una catena montuosa dove, fra gli altri, sono disseminati tutti i famosi "primi di Mersenne". Si tratta di un percorso inesplorato la cui porta si apre con la chiave della formula matematica da me casualmente intravista ad inizio del sentiero. Un formula che oltre a consentire l'accesso all'intero percorso consente di effettuare capatine mirate verso singole postazioni. Sullo stesso percorso si trovano alcuni nuovi indizi molto utili a quei matematici che sono soliti cercare rispondenze ai molteplici quesiti che ne affollano i pensieri. Tale ulteriore studio si trova nella edizione aggiornata dello studio, edito tramite Youcanprint, la cui copertina è riprodotta qui a fianco.

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Recentemente ho letto con piacere che il libro è stato inserito, dal professore Panagiote Ligouras, in un folto gruppo di libri (aggiornato al 2016) avente come denominatore comune "Bibliografia essenziale per una matematica umana, utile, dilettevole e curiosa". Ovviamente non è un concorso e non si vince niente, solo la grande soddisfazione di sapere che il circuito di diffusione di Youcanprint consente di fare arrivare i libri anche in mani di gente dalla testa autonoma e brillante  che sa cogliere perfettamente lo spirito dell'autore che ha composto l'opera. 

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Il libro è prenotabile presso le librerie Feltrinelli e Mondadori nonchè acquistabile direttamente presso le librerie online Ibs, Mondadori store, La Feltrinelli, Libreria Universitaria, Amazon, ecc. 

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