Stanze quadratiche e divisori Mm

LE STANZE QUADRATICHE E I DIVISORI Mm

La disciplina dei numeri naturali

che regola la distribuzione dei numeri primi

- aggiornamento 2020 -

Apparentemente la distribuzione dei numeri primi all’interno dei numeri naturali sembra che non segua alcuna logica matematica poiché essi non forniscono alcuna concorde simmetria utile che consenta di comprenderne il nesso contestuale agli altri numeri naturali interi e positivi fra i quali sono compresi. Ecco, ad esempio, i numeri primi compresi fra 2 e 127 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127. A parte il 2, sono tutti numeri dispari. Inoltre è stato notato dai matematici che, a parte il 2 e il 3, tutti i numeri primi sono della forma 6k±1, cioè multipli, difettivi o eccedenti di una unità, del 6; ma non tutti i numeri di tale forma sono primi stante che moltissimi di essi sono dei numeri composti (ad esempio, 25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115, 119, 121, 125, ecc.). 

Euclide nel III secolo a.C. riuscì a dimostrare che i numeri primi sono infiniti. Carl Friedrich Gauss, intorno al 1800, riuscì a trovare una formula che consente di quantificare, con buona approssimazione, la quantità dei numeri primi esistenti fra 1 e un qualsiasi valore di N, formula che sperimentata già da diversi decenni con l’ausilio di potenti computer in dotazione delle università americane per numeri elevatissimi, si è dimostrata finora valida. Inizialmente Gauss, poiché non riuscì a dimostrare matematicamente quale processo matematico sosteneva la sua formula, seppure essa si mostrava empiricamente valida, fu restio a pubblicarla.

Nel 1859, uno dei suoi discepoli, Bernhard Riemann, elaborò una ipotesi matematicamente complessa, nota appunto come ipotesi di Riemann, secondo la quale, se dimostrata, si sarebbe avvalorata come certa la stima di Gauss anche per le regioni matematiche sconosciute. Tuttavia né egli né alcuno dei matematici successivi che si sono cimentati nello studio della ipotesi di Riemann, è riuscito a dimostrare tale ipotesi e tuttavia, tutte le prove empiriche  effettuate con l’ausilio di potenti computer fino a numeri molto grandi confermano la validità della formula di Gauss, la quale evidenzia la costante tendenza all’assottigliamento della proporzione dei numeri primi rispetto al contesto dei numeri naturali. Una tendenza che rimane fedele ma che lascia perplessi i matematici i quali,  non conoscendo la legge matematica che regola la distribuzione dei numeri primi non hanno certezza del fatto che tale stima di Gauss sia destinata a restare valida, così come finora si è rivelata, per tutte le regioni numeriche finora sconosciute, cioè per sempre.   

La irregolare distribuzione dei numeri primi, da secoli, quindi, è motivo di grande interesse dei matematici che non riescono a spiegarne la causa. La loro domanda continua a essere: “Esiste una legge matematica che regola la distribuzione dei numeri primi?”  

Marcus du Sautoy, docente di matematica analitica presso la Università di Oxford, nel suo fortunato libro dal titolo L’enigma dei numeri primi, edito in Italia nel 2004, scriveva: “Come potremo mai riuscire a tracciare un percorso attraverso un tale caos infinito di numeri e a individuare una struttura che ci permetta di prevedere il loro comportamento?”

Umberto Eco, in una delle sue “bustine di Minerva”, rubrica del settimanale l’Espresso, nello stesso anno, nel commentare tale libro, si spingeva oltre: “Ora, o la loro successione segue una regola, noi non la conosciamo ma Dio si, e allora tutto andrebbe bene, almeno per Dio. Oppure i numeri primi arrivano davvero a caso, e in tal caso Dio si troverebbe di fronte al caso, e del caso sarebbe l’effetto, o almeno la vittima non onnipotente (oppure Dio e il caso sarebbero la stessa cosa). Quindi trovare la regola per prevedere la successione dei numeri primi sarebbe l’unico modo per provare non dico l’esistenza ma almeno la possibilità di Dio”.

Questa mia teoria che indaga sulle sconosciute regole matematiche seguite dai numeri naturali che, al loro interno, hanno un sottordine disciplinato da infinite coppie di intervalli numerici battezzate “stanze quadratiche”, nacque nella primavera del 2009, quando notai la costante presenza dei numeri primi all’interno di ciascuno dei due intervalli che affiancano i quadrati perfetti,  entrambi costituiti da una quantità di elementi pari alla loro radice quadrata, dei quali il primo, definita stanza quadratica A, comprende l’elemento quadratico stesso e l’altro, definita stanza quadratica B, comprende gli elementi successivi.

Attribuendo a n il valore di ciascun numero naturale, si definiscono “stanze quadratiche A” tutti gli intervalli, limitati e chiusi,

[n(n-1)+1,  n²];

si definiscono “stanze quadratiche B” gli intervalli, limitati e chiusi, [n²+1, n(n+1)]. 

Sull’onda della emozione di quella idea primigenia, susseguente alla analisi dettagliata della congettura di Oppermann da egli fatta nel 1882, nacque allora il libro “La ragione dei primi”. Le successive indagini hanno consentito altri corredi teorici a supporto di quella principale, tutte irradianti fascinose luci. Nel corso del tempo, ogni nuova tappa raggiunta è stata documentata con una ulteriore pubblicazione che riepilogava tutto il percorso precedente. Di esse esistono diverse copie in molteplici biblioteche nazionali, regionali e periferiche.  

Studiando i divisori dei singoli elementi degli intervalli scoprii una particolare proprietà matematica di un  particolare divisore degli elementi di ciascuna coppia di intervalli che consente di mettere in luce un particolare sott’ordine dei numeri naturali; sottordine che consente di evidenziare non solo che in ciascuna delle stanze quadratiche A e B si annida sempre almeno un numero primo, così come congetturò Oppermann, ma che tutti gli altri elementi di ciascuna stanza quadratica, nel loro insieme, hanno dei divisori che associati al divisore 1 del numero primo, formano sempre delle scale cardinalmente ordinate.

La prima chiave che consente di comprendere la logica sotterranea della legge matematica che distribuisce i numeri primi è quella del frazionamento della sequenza dei numeri naturali in stanze quadratiche. Con la seconda chiave si identifica e distingue un particolare tipo di divisore dei numeri naturali che definiamo Mm (Maggiore dei minori) costituito per l'appunto dal maggiore fra i minori di tutte le coppie numeriche che dividono ciascun numero naturale, tenendo presente le varie casistiche possibili:

a)     i numeri composti hanno sempre due o più coppie di divisori. Ad esempio, le coppie di divisori del numero 12  sono tre:

1x12,

2x6,

3x4.

Avendo cura di disporre nelle coppie per primo sempre il divisore più piccolo è facile individuare fra essi il maggiore fra i minori, che, in questo caso, è il 3, pertanto divisore Mm.

b)     Nel caso di elementi numerici corrispondenti a numeri quadrati il loro divisore Mm corrisponde sempre alla sua radice quadrata. Ad esempio, le coppie di divisori del numero quadratico 16 sono tre:

1x16,

2x8,

4x4.

Fra tali tre coppie è facile individuare che il divisore maggiore fra i minori è il 4, radice quadrata del 16, pertanto divisore Mm.

c)     I numeri primi hanno sempre una sola coppia di divisori dei quali uno è costituito dal numero stesso e l’altro costituito dal numero 1. Ad esempio, la coppia di divisori del numero 17 è

1x17, 

pertanto il divisore Mm è 1.

Un ulteriore approfondimento mi fece superare lo scoglio rappresentato dal fatto che alcuni intervalli  sembravano difettare di elementi con quel particolare divisore mentre, al contempo, quegli stessi intervalli presentavano più di un numero primo. Poi compresi che tali casistiche erano associate e fra loro conseguenziali.

-I numeri riportati a pedice degli elementi che compongono le stanze quadratiche indicano quei particolari divisori degli elementi appartenenti alle stanze quadratiche. Gli elementi che hanno a pedice il numero 1 sono dei numeri primi.-

Allineando nel loro ordine cardinale i divisori Mm (acronimo di Maggiore fra i minori) estrapolati dai loro elementi di appartenenza, contenuti in ciascuna stanza quadratica, mi accorsi che essi assumono all’interno di ciascun intervallo un ordine magico che ovviamente non è casuale bensì espressione di una bellezza  che si nasconde nella intrinseca essenza dei numeri naturali se sapientemente suddivisi in intervalli quadratici.

Ecco, infatti, come appaiono tali tipi di divisori, disposti nel loro ordine cardinale, seguendo il numero degli elementi presenti per ciascuna delle prime dieci stanze quadratiche di pertinenza:

Scale dei divisori Mm delle Stanze quadratiche

Un ordine “naturale” di rilievo che appare come una meraviglia nascosta la quale sicuramente non è frutto del caso bensì di una armonia matematica finora passata assolutamente inosservata. Un sotto ordine, questo dei divisori Mm, degli “intervalli” battezzati “stanze quadratiche”, che al suo interno contiene un altro sott’ordine, quest’ultimo costituito dalla posizione costante, anch’essa per altri versi quadratica, degli elementi corrispondenti a numeri composti che hanno i divisori Mm più alti. Un sottordine esprimibile in formule matematiche che individuano la esatta posizione degli elementi delle stanze quadratiche che hanno i divisori più alti.

Approfondendo l’argomento scoprii, inoltre, che la quantità degli elementi di ciascuna delle stanze quadratiche dei quali è possibile individuare a colpo i loro divisori corrisponde sempre alla radice quadrata della quantità di elementi presenti, arrotondata per difetto. Analizzando, ad esempio, la stanza quadratica A di n = 103 che contiene 103 elementi, le apposite formule consentono di individuare la posizione dei dieci elementi aventi divisori Mm da 94 a 103.

Da quanto finora esposto si evidenzia che:

1) all’interno dello sterminato elenco dei numeri naturali esiste un sott’ordine costituito da una ininterrotta sequenza di coppie di intervalli denominati “stanze quadratiche” composti da un numero di elementi uguale alla radice del quadrato perfetto di riferimento, che partendo da un elemento, cresce gradualmente di una unità per ogni coppia successiva.  

2) all’interno delle stanze quadratiche vi sono due distinti sotto ordini: 

a) il primo costituito dall’ordine cardinale progressivo dei divisori Mm degli elementi che partendo dal numero 1 giunge al valore di n della stanza quadratica;

b) il secondo costituito da un ordine progressivo inverso all’ordine cardinale che partendo dal divisore Mm più grande, coincidente col valore di n della stanza quadratica, consente di determinare all’interno delle predette stanze quadratiche, tramite un apposito formulario, la postazione di un numero di elementi uguale alla radice quadrata del valore di n, la qual cosa consente di certificare immediatamente che tali elementi sono certamente dei numeri composti, cioè numeri non primi, il che, fra l’altro, in caso di grandi numeri che si vogliono testare, consente di escluderne a priori la eventuale primalità.

Ho verificato che la costante e univoca dinamica matematica che i divisori Mm operano all’interno di tutte le stanze quadratiche garantisce inizialmente la presenza di un numero primo per ciascuna delle prime sette stanze quadratiche mentre, successivamente, il fenomeno interno dei divisori Mm confluenti, determinato dalle ritmiche cadenze dei divisori maggiori di 1, innescando la concomitante presenza di divisori Mm replicanti, determina un tendenziale crescita, sebbene altalenante, della quantità dei numeri primi all’interno delle stanze quadratiche; fenomeno, questo, che, in rapporto agli altri numeri naturali, rallenta la loro naturale tendenza alla rarefazione.

 Infatti, nelle prime 17 coppie A e B di stanze quadratiche, c’è sempre almeno un numero primo; a partire dalla coppia successiva, cioè dalla diciottesima in poi, ci sono sempre almeno due numeri primi per ogni stanza quadratica; a partire dalla 38esima coppia ce ne sono sempre almeno 3; a partire dalla 48esima ce ne sono sempre almeno 4, e così via. Così già alla novantesima coppia si trova una media di almeno 10 numeri primi per ciascuna stanza quadratica, alla millesima coppia si trova una media che supera i 60 numeri primi, alla diecimillesima coppia di stanze quadratiche A e B si trova una media che supera i 500 numeri primi e alla ventimillesima coppia si trova una media che supera i mille numeri primi per ciascuna stanza quadratica. Ecco, in proposito, una tabella che prende in esame la quantità dei numeri primi all’interno delle prime 100 stanze quadratiche A e B, laddove si evince la precisa tendenza alla crescita:

Quantità di numeri primi all’interno delle Stanze Quadratiche

Successivamente ho verificato  la straordinaria concomitanza degli intervalli numerici posizionati nelle stanze quadratiche con gli intervalli numerici posizionati ai lati degli infiniti quadrati che si ricavano dalla famosa Spirale di Stanislao Ulam, caratteristica della quale, però, Ulam non prese cognizione perché distratto dalle oblique file di numeri primi che si formano dentro la Spirale. Un risultato che allora non venne colto da Ulam e neanche dai successivi ricercatori ma valido se rapportato al fatto che, opportunamente indagati, tutti i lati dei quadrati della Spirale di Stanislao Ulam incolonnano, verticalmente e orizzontalmente, sequenze ininterrotte di divisori Mm ininterrottamente ordinate cardinalmente che certificano la nascosta disciplina delle posizioni assunte da determinati elementi numerici delle stanze quadratiche.

Dulcis in fundo, infine, ho scoperto quale processo matematico garantisce in eterno, ovvero all’infinito, il rapporto di riduzione costante dei numeri primi rispetto al totale dei numeri naturali; una ragione causata dalle particolari proprietà matematiche possedute dai numeri di forma 6k±1, di cui, ad eccezione del 2 e del 3, sono composti tutti i numeri primi. Una dinamica doppia e antitetica (poiché gli elementi dividendi di forma 6k±1 hanno come fattori interi solo elementi della stessa forma, mentre gli elementi divisori di forma 6k±1 hanno multipli di tutte le forme, cioè 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k-1) che sviluppandosi fin dai primi numeri naturali, si evolve costantemente, stanza quadratica dopo stanza quadratica, con costanti oscillazioni che, determinando una crescita fluttuante della presenza dei numeri primi all’interno delle stanze quadratiche, suppliscono parzialmente al naturale aumento delle unità numeriche che si aggiungono per ogni coppia di stanze quadratiche, a causa del costante aumento del valore di n (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ecc.). 

Nella tabella che segue, nella terza colonna sono segnati, in sequenza, le quantità di numeri primi presenti per ogni gruppo di 6 valori di n consecutivi che comprendono 6 coppie di stanze quadratiche A e B, distinguendo le 12 presenze naturali dei numeri primi (una per ogni stanza quadratica A e una per ogni stanza quadratica B) dalle eccedenze causate dal fenomeno delle confluenze e replicanti. Come si può facilmente notare, in ogni successione dei gruppi considerati si evidenzia una crescita costante delle eccedenze dei numeri primi che, di fatto, ne rallenta la rarefazione.      

In altri termini: se all’interno degli “intervalli” denominati “stanze quadratiche” i divisori Mm fossero abbinati ciascuno a un singolo e diverso elemento (così come succede nelle prime sette stanze quadratiche) il rapporto della quantità dei numeri primi nel contesto dei numeri naturali sarebbe uguale alla somma 1 + 1 +1/2 +1/2 + 1/3 + 1/3 + ¼ + … 1/n + 1/n,  cosicché la quantità dei numeri primi in rapporto a tutti i numeri naturali si ridurrebbe molto più velocemente di quanto, invece, non accade nella realtà. Invece, poiché le due antitetiche proprietà dei numeri di forma 6k±1 causano il fenomeno delle confluenze di divisori Mm di forma 6k±1 con divisori delle altre 4 forme (6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4) e poiché tali confluenze a loro volta causano la replica dei divisori Mm replicanti, fra i quali trova abbondante spazio il divisore Mm = banale 1, all’interno delle stanze quadratiche va costantemente crescendo la quantità dei numeri primi e tale fenomeno rallenta il naturale rapporto di riduzione dei numeri primi rispetto al contesto dei numeri naturali.  

Concludendo, a me appare ovvio dedurre che oltre al valore intrinseco della rappresentazione della legge matematica che regola la distribuzione dei numeri primi, la dimostrazione finale del fenomeno che determina il flusso di rarefazione dei numeri primi implicitamente spieghi il motivo per il quale la formula di Gauss si sia finora dimostrata pressoché esatta e, per lo stesso motivo, perchè essa conserverà la sua validità all’infinito.

Come sicuramente i lettori avranno già notato, questa teoria che si occupa dei numeri interi è stata studiata ed esposta in forma semplice, infatti e tanto rientra nella comune disciplina matematica che a tal proposito recita: “Nella teoria dei numeri elementare, gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Rientrano in questa parte le questioni di divisibilità, l'algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore, la fattorizzazione di interi in numeri primi, lo studio dei numeri perfetti e le congruenze” (Wikipedia), aggiungendo “Tradizionalmente, la teoria dei numeri è quel ramo della matematica pura che si occupa delle proprietà dei numeri interi e contiene molti problemi aperti che possono essere facilmente compresi anche da chi non è un matematico” (Wikipedia).

La forma elementare, d’altronde, si pone in coerenza coi basilari concetti della teoria che di fatto non costituisce una sofisticata evoluzione della teoria dei numeri, quale potrebbe essere la risoluzione della ipotesi di Riemann, bensì ne occupa il vuoto plurisecolare pregresso, cosa che sarebbe potuta avvenire più di un secolo addietro e non necessariamente ad opera di un grande matematico.

Scrutare l’orizzonte dalla cima di una montagna, alla quale si è arrivati a bordo di una Ferrari, muniti di potenti binocoli, non sempre ci assicura di vedere all'orizzonte l’agognata méta. Talvolta è più fruttifero risalire il monte con scarpe da trekking lungo viottoli e sentieri primitivi poiché la soluzione che si credeva lontana è dentro la montagna dove stanno appoggiati i piedi.

Questa è la versione ultima del lavoro che originalmente ho chiamato "La ragione dei primi" (2009) e poi "Origine e funzione dei numeri primi" 2010, e poi ancora "Le quadratiche stanze" e "Origine dei numeri primi". Il concetto di base, in ciascuna delle edizioni, è sempre uguale. Ogni edizione, rispetto alla precedente, è stata accresciuta di nuovi concetti che ampliano il percorso precedente e ne supportano il cuore della teoria.

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