Origine dei Numeri Primi

La natura ha le sue leggi. Tutte le scoperte scientifiche fatte dalla umanità passano da questo assioma. La legge gravitazionale, scoperta da Newton ne è forse l’emblema, essendo presente nell’immaginario collettivo la storiella della mela cadutagli addosso mentre riposava sotto l’albero. Dai primordi alle telecomunicazioni l’umanità ha fatto passi da gigante ma, come osservava Socrate, più si allargano i confini della conoscenza e più ci si rende conto della nostra abissale ignoranza. Qualcosa di simile accade anche nel campo della matematica.

Scriveva Eulero nel 1751: “Ci sono alcuni misteri che la mente umana non penetrerà mai. Per convincercene non dobbiamo fare altro che gettare un’occhiata alle tavole dei numeri primi. Ci accorgeremo che non vi regna né ordine né legge”.

Sempre a proposito della irregolare apparizione dei primi nel contesto dei numeri naturali, scriveva Marcus du Sautoy, docente di matematica analitica presso la Università di Oxford, nel suo fortunato libro dal titolo L’enigma dei numeri primi edito in Italia nel 2004: “Come potremo mai riuscire a tracciare un percorso attraverso un tale caos infinito di numeri e a individuare una struttura che ci permetta di prevedere il loro comportamento?” mentre Umberto Eco, nel commentare tale libro, si spingeva oltre: “Ora, o la loro successione segue una regola, noi non la conosciamo ma Dio si, e allora tutto andrebbe bene, almeno per Dio. Oppure i numeri primi arrivano davvero a caso, e in tal caso Dio si troverebbe di fronte al caso, e del caso sarebbe l’effetto, o almeno la vittima non onnipotente (oppure Dio e il caso sarebbero la stessa cosa). Quindi trovare la regola per prevedere la successione dei numeri primi sarebbe l’unico modo per provare non dico l’esistenza ma almeno la possibilità di Dio”.

Di questo dilemma che ha assillato le menti dei più grandi matematici di tutti i tempi ho preso coscienza intorno al 2001, anno in cui ho effettuato uno studio che nel tempo si è dimostrato basilare per le successive ricerche. Da allora, fatte ulteriori indagini preliminari, ho messo in atto una mia personale ricerca riguardante i numeri primi e i numeri perfetti, questi ultimi correlati ai primi per via degli studi condotti, oltre tre secoli addietro dal monaco  teologo e matematico francese Marin Mersenne.

Durante la primavera dell’anno 2009 ho trovato il bandolo della matassa scoprendo dei particolari “Insiemi” numerici (Ima e Imb), sconosciuti ai matematici, al cui interno si annidano sempre uno o più numeri primi e da questi ho ricavato la sconosciuta legge matematica che regola la distribuzione dei numeri primi. Ho annotato allora le argomentazioni in un libro di circa 70 pagine dal titolo “La ragione dei primi”. Successivamente ho ampliato lo studio, alla ricerca di ulteriori prove a supporto della logica di tali Insiemi, trovando degli inediti e sconosciuti formulari che si rivelano formidabili corollari della teoria stessa. Infine, durante l’autunno del 2013 ho ulteriormente esteso la ricerca evidenziando le altrettanto sconosciute caratteristiche cicliche (sempre fra loro uguali) dei multipli di quei numeri naturali delle forme 6k-1 e 6k+1.

Caratteristiche cicliche che, come ruote addentellate sempre più grandi, si incastrano perfettamente con i sempre più grandi Insiemi Ima e Imb; cosicché mi è ora perfettamente chiara la  logica matematica che all’interno dei numeri naturali distribuisce i primi; mi è chiaro il motivo per il quale essi tendono a rarefarsi e mi è altrettanto chiaro il motivo per cui, nonostante la loro rarefazione, essi sono destinati ad essere presenti in ciascuno degli infiniti Insiemi Ima e Imb.  

Proverò ora ad esporre, in forma –spero- comprensibile ai più, il nocciolo della mia teoria.

Ricordo, a beneficio della memoria dei lettori che fida soltanto dei lontani ricordi scolastici, che si definiscono primi quei numeri, interi e positivi, che sono divisibili soltanto per 1 e per sé stessi : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ecc. Tutti gli altri numeri sono definiti composti in quanto risultano essere divisibili, oltre che per uno e per sé stessi, anche da altre coppie di numeri (esempio: 12 = 3x4)  nonché, nel caso di numero quadrato, da una coppia di numeri uguali (es: 9 = 3 x 3).

Nel corso dei secoli, per comodità di calcolo, l’umanità ha assimilato la sequenza dei numeri naturali assecondando il sistema decimale. Augurando ai matematici di venire a capo del mistero che regola la distribuzione dei numeri primi, Du Sautoy nel libro sopra menzionato, si auspicava l’apporto di una metodica diversa, ovvero del pensiero laterale. Ciò premesso, vi racconto in cosa consiste, in questo caso, il mio pensiero laterale.

Accantoniamo il sistema decimale creato dagli uomini e proviamo a immaginare che la Natura segua una disposizione quadratica.          Immaginiamo, quindi, una serie infinita di coppie di Insiemi numerici composti da uno o più numeri fra loro consecutivi, e definiamo Ima (Insieme multiplo A) ciascun Insieme di numeri naturali compreso             fra n(n-1) e n² ; Imb (Insieme multiplo B) ciascun Insieme di numeri naturali compreso fra n² e n(n+1).

Ciascun Insieme, disposto secondo l’ordine progressivo dei numeri, risulta composto da un numero di elementi uguale al valore di N. Disponendo secondo l’ordine predetto i numeri naturali, otteniamo la sottostante tabella, sviluppata per i primi valori di N.   

                                                  Insiemi Ima        n²        Insiemi Imb         

Nel caso di N=1 l'ImA è costituito dal solo elemento 1 mentre l'ImB è costituito dal solo elemento 2. Nel caso di N = 2  l’Insieme Ima è costituito dagli elementi 3, 4 mentre l’Insieme Imb è costituito dagli elementi 5, 6.

Nel caso di N= 3 l’Insieme Ima è costituito dagli elementi 7 e 8, 9, mentre l’Insieme Imb è costituito dagli elementi 10, 11, 12. Ad ogni maggiore valore di N aumenta gradualmente il numero degli elementi degli Insiemi corrispondenti.

Come detto in precedenza, ciascun numero quando è diverso dal quadrato perfetto è il prodotto di almeno una coppia di fattori di cui uno inferiore alla sua radice quadrata e l’altro superiore (ad esempio: 15 = 3x5) mentre, quando è quadrato perfetto, è il prodotto di un numero N che moltiplica sé stesso (ad esempio: 25= 5x5).

Di tale coppie di fattori dei numeri naturali consideriamo il fattore minore oppure (nel caso dei quadrati) uguale a N, con l’accorgimento che quando (nel caso dei numeri composti) le coppie di fattori sono più di una noi prenderemo in considerazione, fra i fattori minori di N, il fattore di valore più elevato. Ad esempio: il numero 24 oltre che dalla coppia 1x24, è anche  rappresentabile sia come prodotto di 2 x 12, sia come prodotto di 3x8 e sia come prodotto di 4 x 6. In questo caso i fattori minori delle quattro coppie sono rappresentati dai numeri l, 2, 3 e 4. Fra i quattro fattori minori delle coppie, teniamo in considerazione il numero di valore più elevato che è il 4 e definiamo tale fattore quale divisore Mm (Maggiore divisore dei minori). Invece, nel caso che i fattori minori o uguale a N siano fra loro primi (se nello stesso Insieme non vi sono altri numeri con uguali divisori)  li consideriamo tutti divisori Mm. Ad esempio: il numero 18 oltre che essere il prodotto di 1x18 è anche il prodotto sia di 2 x 9 che sia di 3 x 6.

Poiché i fattori minori delle due coppie, a parte il banale 1,  (2 e 3) sono primi fra loro, e poiché gli altri numeri dello stesso Insieme Imb (17 e 19) non hanno fra i loro divisori né il 2 né il 3, li prendiamo entrambi in considerazione e  consideriamo sia il 2 che il 3 entrambi divisori Mm.

Ad una attenta osservazione si può notare che ciascun Insieme, sistematicamente, presenta quali propri divisori Mm la intera sequenza dei numeri naturali che partendo da 1 giunge fino al valore di n. Infatti,tramutando i numeri della tabella degli Insiemi coi loro divisori Mm, come per incanto la scala delle stringhe numeriche evidenzia la reiterazione dei fattori minori di n che ad ogni passaggio si accrescono dell’elemento numerico immediatamente successivo (uguale al valore di n). Ad eccezione dei primissimi gradini della scala, l’uscita di tali fattori inferiori ad n, non rispetta l’ordine cardinale tuttavia ciascun Insieme li contiene sempre tutti  a prescindere dall’ordine di entrata in scena, compreso il banale 1. Vado più nel dettaglio: nell’Insieme Ima di N = 4 rappresentato dagli elementi 13, 14, 15, 16, i rispettivi divisori Mm sono, nell’ordine, 1, 2, 3, 4 (ordine cardinale) mentre nell’Insieme Ima di N = 5, rappresentato dagli elementi 21, 22, 23, 24, 25 i rispettivi divisori Mm sono  3, 2, 1, 4, 5 (ordine sparso). Sia nel primo che nel secondo caso sono presenti tutti i divisori uguale e inferiori al valore di N (1, 2, 3, 4 nel caso di N=4 e 1, 2, 3, 4, 5 nel caso di N= 5). Tuttavia nel secondo caso l’entrata in scena dei divisori non rispetta l’ordine cardinale (3, 2, 1, 4).  

L’Insieme A e l’Insieme B di n = 2 composti rispettivamente dagli elementi 3, 4 e da 5, 6 hanno quale loro divisore Mm il banale 1 e il numero 2. L’Insieme A e l’Insieme B di N = 3 (rispettivamente 7, 8, 9 e 10, 11, 12) hanno quali loro divisori 1,  2, 3. Cosicché, aggiungendo a tali sequenze di divisori anche il divisore di N di ciascun Insieme si ricava che i divisori Mm rispecchiano una sorta di palpito del cuore dei numeri naturali.

                                                    Il palpito del cuore dei numeri naturali

La tabella, qui elaborata solo per i primi valori di N, indica i soli fattori, inferiori e uguali a n, delle (due) stringhe numeriche (Insiemi) composte dagli elementi che partendo da n(n-1)+1 arriva a n²  (la prima) e da n² arriva a n(n+1) la seconda.

Poiché ciascuno dei fattori degli elementi ha un passo diverso da tutti gli altri, l’ordine della loro comparsa all’interno degli Insiemi muta in continuazione, tuttavia, ad ogni reiterazione delle stringhe numeriche, corrisponde sempre la presenza del fattore banale 1 e quindi i numeri primi hanno tale certa presenza.

Ovviamente ho sperimentato per diverse centinaia di valori di N consecutivi la puntuale presenza per ciascuno degli Insiemi Ima e Imb dei numeri primi. Essi numeri primi inizialmente si presentano in diversi Insiemi in forma singola (in tali Insiemi è presente un solo numero primo, il che è ovvio in quanto inizialmente gli elementi che compongono gli Insiemi sono costituiti da pochi elementi, ma con l’aumentare del numero degli elementi degli Insiemi Ima e Imb gradualmente cresce anche la presenza dei primi per alcuni precisi motivi che dettagliatamente ho indagato ed evidenziato nella esposizione teorematica.

Ho notato e spiegato, ad esempio, per quale motivo tutti gli Insiemi Imb di N pari superiore al valore di 2 (quindi N = 4, 6, 8, ecc.) si trovano sempre almeno due numeri primi. Ho notato e spiegato perché da certi altri valori di N in poi, sia dispari che pari, anche gli altri Insiemi presentano diversi numeri primi.

Di seguito si elenca la quantità dei numeri primi di ciascun Insieme Ima e Imb dei primi cento valori di N

 Quantità di numeri primi all’interno degli Insiemi  iMa e iMb

Di tale teoria ho qui riportato la parte che coglie un celato e poetico sottordine dei numeri naturali che ruota attorno ai numeri quadrati, tuttavia ribadisco che essa è  suffragata, come inizialmente scritto, da rigorose considerazioni e dimostrazioni che qui tralascio per evidenti ragioni di spazio (l’intera pubblicazione LE STANZE QUADRATICHE, TEORIA ELEMENTARE DELLA DISTRIBUZIONE DEI NUMERI PRIMI, edita da Youcanprint, si sviluppa su circa 210 pagine). A me piace qui rilevare che, d’altronde, non è la prima volta che si evidenzia il fatto che la natura abbia predilezione a manifestare la sua essenza in forma quadratica. In un memorandum del 1714, Isaac Newton, fra l’altro, scriveva: “Ho dedotto che la forza che trattiene i pianeti nelle loro orbite deve essere mutuamente come il quadrato delle loro distanze dai centri intorno a cui essi ruotano; e per mezzo di questo confrontai la forza richiesta per trattenere la luna nella sua orbita con la forza di gravità sulla superficie della terra, e trovai la risposta quasi soddisfacente”.

Altro importante aspetto della teoria è la meravigliosa relazione “fisica” che si può cogliere tra gli Insiemi Ima e Imb e la “Spirale” casualmente nata dalle mani  del fisico e matematico polacco Stanislaw Ulam nell’anno 1963. Delle virtù nascoste in tale Spirale lo stesso Ulam e i matematici che hanno successivamente elaborato al computer giganteschi ingrandimenti, hanno colto le frammentate linee diagonali di numeri primi che si sviluppano all’interno dei numeri naturali così distribuiti, che, tutto sommato è l’aspetto marginale. Io, invece, grazie agli Insiemi Ima e Imb, della Spirale ho colto un aspetto finora non compreso, cioè il fatto che ciascuno dei 4 lati del quadrato che forma la Spirale, sempre, in ogni lato che man mano si ingrandisce, nasce e si completa un diverso Insieme. Cosicché in uno dei 4 lati del quadrato spirale si trovano gli Insiemi Ima di tutti gli N dispari, nel lato successivo tutti gli Insiemi Imb di N dispari, nel terzo lato gli Insiemi Ima di tutti gli N pari e nel quarto lato gli Insiemi Imb di tutti gli N pari.

                                                                                                         Filippo Giordano

Questa è la versione ultima, riveduta e perfezionata, del lavoro che originalmente ho chiamato "La ragione dei primi" (2009) e poi "Origine e funzione dei numeri primi" 2010, e poi ancora "Le quadratiche stanze" e "Origine dei numeri primi". Il concetto di base, in ciascuna delle edizioni, è sempre uguale. Ogni edizione, rispetto alla precedente, si accresce di nuovi capitoli che supportano il cuore della teoria cioè "le stanze quadratiche dei numeri primi" coi relativi "Insiemi Ima e Imb".

La edizione cartacea del libro (di formato 21 x 30 per esigenze di spazio che riguardano le tabelle inserite) è acquistabile nelle librerie online (IBS, InMondadori, Deastore, La Feltrinelli, ecc.) al prezzo 26,00 euro (ma alcune librerie praticano lo sconto del 15%    mentre direttamente dallo store di Youcanprint si ottiene lo sconto del 20%.

Dello stesso libro è in preparazione una versione ebook.

Collegandosi a https://www.academia.edu/35319296/LE_STANZE_QUADRATICHE._Teoria_elementare_della_distribuzione_dei_numeri_primi 

 è possibile visionare un organico riassunto della teoria.